Circuito RL

Auto-indutância e Indutância Mútua

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Energia Magnética em RL

Circuito RL

A seguir discutiremos o comportamento de um circuito elétrico contendo dois elementos: um resistor e um indutor, como mostra a Fig. 1. Os resistores têm como característica principal a transformação de energia elétrica em energia térmica, já os indutores transformam energia elétrica em energia magnética.

Figura 1- Circuito elétrico do tipo RL

Para encontrar as equações matemáticas que descrevem o comportamento deste tipo de circuito elétrico, faremos uso das Lei de Kirchhoff.

Kirchhoff

As quais podem ser enunciadas por;

- Lei dos Nós ou primeira lei de Kirchhoff:

A soma algébrica das correntes que fluem para qualquer nó ou junção de condutores ou circuitos é zero. Esta lei refere-se à conservação da carga. Como conseqüência podemos dizer que a soma das correntes que fluem para dentro de qualquer ponto de junção no circuito é igual a soma das correntes que fluem para fora daquele ponto.

- Lei das Malhas ou segunda lei de Kirchhoff:

A soma algébrica dos aumentos e quedas de tensão (potencial) através de qualquer malha fechada é zero. (Uma queda de tensão constitui um ganho negativo de tensão.)

Esta lei é uma conseqüência da conservação da energia. Ela é simplesmente uma afirmação do fato de que o potencial elétrico pode ser estabelecido em qualquer ponto num circuito estacionário. Para um circuito fechado isto significa que,

(1)

A aplicação destas leis se dá considerando que, em cada ramo, existe uma única corrente dotada de um certo sentido. Ao se aplicar a lei das malhas, ocorre uma queda de tensão, ao se percorrer o resistor no mesmo sentido daquele escolhido para a corrente, e um ganho de tensão ao atravessar uma fonte de fem do pólo negativo (-) para o positivo (+). Se na solução ocorrer uma solução negativa para a corrente, isso quer dizer que a corrente real flui no sentido oposto àquele que se supôs.

Aplicando a segunda lei de Kirchhoff para os circuitos apresentados na Fig. 16.1 temos;

, (2)

onde

é a força eletromotriz induzida no circuito. Lembramos que todos os circuitos elétricos contêm uma indutância assim como uma resistência elétrica própria.
A fem induzida

pode ser escrita em função da taxa de variação do fluxo magnético em função do tempo ou da corrente real no circuito, como a seguir,

. (3)

Substituindo a equação (3) em (2) encontramos uma equação diferencial para a corrente no circuito em função do tempo. No limite em que

® 0 a equação acima torna-se uma equação diferencial do tipo homogênea.

, (4)

Analisando a equação acima notamos que a função que descreve o comportamento da corrente i deve ser do tipo exponencial, pois a derivada dela é a própria função, a menos de constantes. Isto sugere-nos multiplicar ambos lados de (3) por uma exponencial como a seguir;

(4a)

(4b)

Os dois termos do lado esquerdo da equação (4b) podem ser agrupados como a seguir;

. (5)

Integrando a equação acima temos que;

, (6)

sendo A uma constante de integração, cujo valor pode ser determinado usando condições de contorno a partir de uma análise do circuito nos instantes iniciais. Neste caso assumimos que para o instante inicial, t = 0, a corrente no circuito é igual a zero. Isto implica no seguinte valor para a constante de integração A = -

/ R.

Substituindo na equação (4) o valor encontrado para A temos que;

(7)

onde i_ind refere-se à corrente induzida no circuito e t= L/R a constante tempo ou tempo característico do circuito.

Os gráficos na Fig.2 mostram o comportamento da corrente em função do tempo dado pela equação (5).

Fig. 2 - Variação da corrente com o tempo

Observando a equação (5) nota-se que o circuito terá inicialmente uma corrente variável no tempo por um período muito curto, já que a i_ind é proporcional a uma exponencial decrescente no tempo. Estes resultados levam-nos a afirmar que, mesmo que a fonte geradora de correntes num circuito elétrico é do tipo não variável no tempo, ela gera instantaneamente correntes induzidas. A corrente induzida deve-se ao aparecimento de uma fonte de energia denominada de força eletromotriz induzida.

A equação (7) mostra-nos também, que a corrente será estabilizada para tempos relativamente grandes. Isto é, para t ®¥ a corrente i no circuito será constante. Veja o gráfico na Fig.2, representando o comportamento i com o tempo.

Para o instante t = t a corrente no circuito é igual a;

(8)

Isto significa que, para t = t, i é igual a 63% do seu valor máximo.

A força eletromotriz induzida pode ser determinada pela taxa de variação do fluxo magnético em função do tempo, isto é,

(9) ou

a qual estabelece que a corrente induzida tende a zero para um tempo infinitamente grande, isto é

t ® ¥ Þ di/dt = 0 Þ = 0 (10)

O gráfico (b) da Fig. 2 descreve este comportamento.

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