Circuito RLC

Energia em Circuito LC

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Circuito RLC com fonte

Circuito RLC

Examinaremos agora, um circuito contendo três elementos em série, um resistor R, um indutor L e um capacitor C, veja Fig. 1. Seja V_L = V_ab , V_R =V_bc e V_C = V_ca as voltagens (ddps) para cada um desses elementos, em um dado instante.

Fig. 1 – Circuito RLC

A segunda lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas e ganhos de potencial em circuito elétrico é igual a zero, isto é

(1)

Podemos escrever a Eq. (1) em termos das correntes e cargas em cada um dos elementos do circuito, como a seguir.

(2)

Sendo i = dq/dt, por definição de corrente elétrica, teremos:

. (2a)

(2) é uma equação diferencial de segunda ordem, completa e homogênea.

No caso do circuito LC, estudado na seção anterior, mostramos que o sistema oscila indefinidamente pois não tem resistência elétrica para dissipar calor. O circuito RLC da fig. (3.17.1) difere do caso anterior pela existência do resistor R. Isto significa que haverá perdas de energia em forma de calor.

As soluções da equação diferencial (2) devem ser de forma tal que descreva o comportamento de um circuito oscilante amortecido. Uma possível solução da eq. (2) será dada por:

. (3)

Cujas condições de contorno usadas são, t = 0 Þ q = q_o = A_o . Neste caso, como a carga do capacitor tende a zero com o passar do tempo, a amplitude deve refletir o mesmo comportamento.

Para verificar em que condições a eq. (3) é solução da equação diferencial, substituiremos (3) em (2). Isto é,

(4a)

(4b)

Substituindo os dois últimos resultados na equação diferencial (2) temos que;

= 0 (5)

Simplificando temos que,

(6)

Esta equação só será nula para qualquer instante t, se e somente se ;

(7)

Este sistema de equações tem a e w₂ como incógnitas. Resolvendo o sistema acima obtemos ;

(8)

Usando os resultados acima escreveremos a equação que descreve a variação da carga em função do tempo;

(9)

Como podemos observar, a carga no capacitor é oscilante e decresce com o tempo de uma forma exponencial.

No caso do circuito LC, estudado na seção anterior, mostramos que o sistema oscila indefinidamente pois não tem resistência elétrica para dissipar calor. O circuito RLC da Fig. 1 difere do caso anterior pela existência do resistor R. Isto significa que haverá perdas de energia em forma de calor. Então devemos esperar que o circuito seja oscilante mas amortecido, devido as perdas de energia no resitor.
A animação abaixo, mostra o funcionamento de um circuito RLC.

O gráfico abaixo (Fig.2) mostra o comportamento oscilante do circuito. Consequentemente, a corrente será dependente do tempo já que a corrente expressa a taxa de variação da carga em função do tempo.

Fig. 2 - Variação da carga elétrica, no capacitor, em função do tempo

A simulação abaixo mostra o funcionamento de um circuito RLC. Varia, usando o mouse, os valores da resistência, capacitância e induntância e observe, no monitor, o comportamento da corrente elétrica em função do tempo. Observe também que para resistência nula o circuito é oscilante indefinidamente. A introdução de fatores resistivos eletricamente torna o sistema amortecido devido as perdas de energia, que em geral são transformadas em calor. A função da bateria é carregar o capacitor após ele ter sido totalmente descarregado.

Circuito RLC

Fig. 3 - Simulação de um circuito RLC.

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