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- Colisões elástica em uma dimensão : Conservação de energia e momento
- Colisões Inelásticas
- Colisões em mais de uma dimensão
- Centro de Massa (CM)
- Corpo Rígido
- Centro de Massa e o Movimento de Translação

Aula-6


1- Colisões elástica em uma dimensão : Conservação de energia e momento
 

            Nas seções anteriores estudamos a conservação do momento linear em colisões do tipo elástica. Nesta seção faremos uso da conservação da energia cinética combinada com a conservação do momentum no estudo das colisões elásticas em uma dimensão. As colisões em que não há conservação da energia são dista ser colisões não elásticas. Analisaremos o caso de uma colisão frontal entre dois objetos pequenos (partículas) se movimentando ao longo de uma linha. Vamos assumir, inicialmente, que ambas partículas estão se movendo com velocidades v1 e v2 ao longo do eixo x, Fig.6-1. Após a colisão, as suas velocidades são v’1 e v’2, Fig.6-1. Estas são as duas incógnitas, ou as duas variáveis a serem determinadas. Para qualquer v > 0, a partícula está se movendo para o lado direito (x crescente), enquanto para v < 0, a partícula está se movendo para o lado esquerdo (no sentido de x decrescente).
 


Fig. 6-1


A partir da conservação do momentum, nós temos

.                                                                                (1)
 Como a colisão é do tipo elástica, a energia cinética também se conserva:
 
 
.                                                                           (2)
            Agora nós temos duas equações e portanto podemos usá-las para determinar duas variáveis desconhecidas. Se conhecemos as massas e velocidades iniciais, então podemos usar estas duas equações para calcular as velocidades após a colisão, v’1 e v’2. Manipulando com as duas leis de conservação acima podemos derivar resultados importantes para o estudo das colisões. Para isto, vamos reescrever a equação do momentum como a seguir
 
 
                                                                                                 (i)
procedendo de forma similar com a equação da energia cinética temos que
 
 
                                                                                            (ii)
sabendo que (a-b)(a+b) = a2 - b2 , a equação acima pode ser redefinida por
 
 
    .                                                                (iii)
Dividindo a equação (iii) por (i), assumindo que v1¹ v’1 e v2¹ v’2 obtemos,
.
ou
                                                                                  (3)
            Este resultado é interessante: ele diz-nos que para qualquer colisão elástica do tipo frontal, a velocidade relativa das duas partículas antes e depois da colisão têm a mesma intensidade, mas sentido oposto não tem nenhuma relação com as massas das partículas.
 

2- Colisões Inelásticas

            As colisões nas quais a energia não se conserva são chamadas colisões inelásticas. Parte da energia cinética inicial, neste tipo de colisão, é transformada em outro tipo de energia, tal como energia térmica ou potencial. Dessa forma, a energia cinética total, após a colisão, é menor do que a energia cinética inicial, portanto ela não se conserva. As colisões macroscópicas típicas são inelásticas. Se dois objetos ficam fixos um ao outro após a colisão, então a colisão é dita ser completamente inelástica. A energia cinética, em alguns casos, são totalmente transformadas em outro tipo de energia e em outros casos apenas parte da energia é transformada.

            Nas colisões completamente inelásticas, a quantidade máxima de energia cinética a ser transformada é estabelecida pela conservação do momentum. Mesmo que a energia cinética não se conserva, neste tipo de colisão, a energia total se mantém constante, e o vetor momentum total é também conservado.
            A seguir vamos discutir um exemplo prático para compreender o processo "colisão elástica".
 
 

    O pêndulo na colisão não elástica :

            O pêndulo balístico é equipamento usado para medir velocidade de projéteis balísticos. Um projétil de massa m, é atirado contra um bloco de madeira de massa M, o qual está suspenso por um fio como mostra a Fig.6-2. Usualmente M é assumido ser muito maior do m. Como um resultado da colisão, o sistema pêndulo-projétil se movem, como um pêndulo, a uma altura h. Vamos determinar uma relação entre a velocidade inicial e a altura h.
 


Fig. 6-2

            Analisaremos este processo dividindo-o em duas partes: (1) a colisão em si, e (2) o movimento subsequente do pêndulo a partir do sua nova posição h. Na parte (1), Fig.6-2, assumiremos que a colisão ocorre em um tempo muito curto. Como não existe força externa atuando neste sistema e o momentum se conserva, temos que

.                                                                         (i)
onde v’ é a velocidade do bloco e o projétil embebido, logo após a colisão. Quando o pêndulo começa a se mover, parte 2, surgirá uma força externa devido a gravidade, puxando o bloco+projétil para baixo. Assim, podemos aplicar a lei da conservação do momentum. Imediatamente após a colisão, a lei da conservação da energia cinética é valida e pode ser usada desde que a energia cinética seja transformada inteiramente em energia potencial gravitacional, quando o pêndulo atinge a sua altura máxima h. Assim,
 

ou

      ,                                                                     (ii)
assim, . Combinando as equações (i) e (ii) obtemos
 

,

            a qual é o resultado procurado. Para obter este resultado, tivemos de ser oportunista usando todas leis de conservação pertinentes no momento adequado, isto é: na parte (1) nós podíamos usar apenas a lei de conservação do momentum, pois a colisão é inelástica; na parte (2) a lei de conservação da energia cinética é válida, mas a do momentum não.
 
 

3- Colisões em mais de uma dimensão

            As leis de conservação do momentum e da energia podem ser usadas também no caso de colisões em duas ou três dimensões. Nestes casos, a natureza vetorial do momentum tem que ser levada em conta. Um tipo comum de colisões bidimensionais é aquela cujo choque entre os objetos ou partículas não é frontal. Em geral, um partícula em movimento colide com a segunda que inicialmente está em repouso. Esta situação é comum nos jogos de bilhar, de boliche e nos experimentos em física atômica e nuclear. Em todos estes casos temos um projétil (partícula 1) e um alvo (partícula 2).
 


Fig.6-3


            A Fig. 6-3 mostra duas partículas de massas m1 e m2 em um processo de colisão não frontal. Após o choque as partículas moverão em trajetórias diferentes formando ângulos q1 e q2 com o eixo x, como mostra a simulação na Fig.6-3. Se as partículas estão carregadas eletricamente, elas defletirão antes mesmo de se tocarem. Isto deve-se as interações ou forças elétricas, magnéticas ou nucleares entre elas.

            Vamos aplicar as leis de conservação do momentum para descrever um processo de colisão não frontal. Vamos escolher o plano xy como sendo o plano onde as partículas se moverão antes e após se colidirem. Como o momentum é uma grandeza vetorial e conservada, as suas componentes nas direções x e y serão sempre constantes. Podemos equacionar isto da seguinte forma:
 

  a) direção x

ou

.                                                                               (4)
  b) direção y

Como não há movimento inicial na direção y temos que

ou

.                                                                                   (5)
            Se temos duas equações independentes podemos determinar duas incógnitas, no máximo. Sabendo, também, que a colisão não frontal é  elástica, pode-se aplicar a lei de conservação da energia cinética e obter uma terceira equação independente, isto é
e para a colisão mostrada na Fig.6-3, temos que
 
                                                                            (6)
            Sendo a colisão elástica temos agora três equações independente e portanto podemos determinar três variáveis desconhecidas. Se nos é dado m1, m2, v1 e v2 não é zero, não podemos resolver o problema completamente, pois existem ainda quatro variáveis a serem determinadas e nós só temos três equações independentes. Contido, se nós medimos uma dessa variáveis, por exemplo q1, em os outras três variáveis (v’1, v’2 e q1) são univocamente determinadas, usando as equações (4)-(6).

            No caso mais geral, para colisões não frontais e no plano, a conservação momentum fornece duas equações para quatro incógnitas, v2x, v2y, v’2x e v’2y. Elas surgem ao levar em conta a conservação do momentum nas direções x e y, já que o momentum é uma grandeza vetorial. Esta equações são

                                                                            (7)
e
                                                                             (8)
            Em qualquer dos casos, há mais incógnitas do que equações. Portanto, considerações apenas sobre o momento linear não são suficientes para determinar completamente as velocidades finais; deve-se portanto procurar mais informações sobre o processo de colisão, como por exemplo, verificar se a há conservação de energia cinética. Se as forças de interação entre os corpos forem conservativas, então a energia cinética total será constante.

            O princípio da conservação do momento linear é um dos mais fundamentais e importantes da mecânica. Note que ele é mais geral que o de conservação da energia cinética, pois esta só conservada quando as forças internas são conservativas. Por outro lado, o princípio de conservação do momento linear vale qualquer que seja a natureza das forças internas.
 
 

4- Centro de Massa (CM)
 

            Até agora temos discutido o movimento de partículas simples e em geral sem dimensão. Nós assumimos que toda a massa do objeto estava concentrada em um ponto muito particular. Este ponto particular é denominado de centro de massa, abreviado por CM. O centro de massa de um objeto ou de um sistema de objetos é o ponto que move como se todas massas estão concentradas nele e que todas a forças externas estão concentradas ai. O conceito centro de massa é de suma importância no estudo do movimento de muitos corpos ou corpos extensos. Quando temos que tratar com corpos extensos, cuja dimensão tem que ser levado em conta, outros tipos de movimentos além dos translacionais podem surgir, como por exemplo a rotação em torno de si próprio. Por exemplo, os atletas de saltos ornamentais usam muito da técnica de girar em torno de seu corpo, para produzir diferente efeitos especiais em seus saltos, veja Fig.6-4. No exemplo da Fig.6-4 tem-se tanto movimento translacional quanto rotacional. Vamos referir a este tipo de movimento que não é puramente translacional como movimentos gerais. Em particular, o movimento do atleta de saltos ornamentais pode ser seguido observando a evolução do CM do corpo do atleta.


Fig. 6-4

            Mostraremos agora que o princípio da conservação do momentum para um sistema isolado pode ser enunciado de uma outra maneira, usando-se o conceito de centro de massa. Primeiro, define-se o momentum total p de um conjunto de qualquer número de partículas, como sendo a soma vetorial dos momentos individuais:

                                                     (9)
A massa total, que pode ser denotada por M, é simplesmente a soma das massas individuais:
                                                                      (10)
            Suponha, agora, que haja um ponto chamado CM, cujo movimento seja representado do movimento de todo o sistema, no sentido de que quando a sua velocidade, que será chamada de v, é multiplicada por M. O resultado é igual ao momento total p, isto é,

ou

                                                         (11)
Podemos definir o vetor centro de massa R, como a seguir
                                                             (12)
ou
                                                                               (13)

Esta figura mostra distribuição espacial dos N corpos massivos.


Podemos explicitar as coordenadas (componentes) do vetor centro de massa
                               (14)

5- Corpo Rígido

            Em geral os objetos contêm um número muito grande de pequenas partículas (átomos) e devem, portanto, serem tratados com uma distribuição de matéria continua. As "partículas" tornam-se então, elementos infinitesimais ou diferenciais dm, e as somas da equação (14) tornam-se integrais. Consequentemente as coordenadas do CM assumem a forma
 
 

                               (15)
            onde M agora é a massa do objeto. As integrais têm que ser integradas sobre toda massa do objeto. Na prática, contudo, elas podem ser reescritas em termos das coordenadas dos elementos de massa. Se o objeto tem densidade volumétrica r uniforme (massa por volume), então
                                                                                       (16)
onde dV é o volume ocupado pelo elemento de massa dm e V é o volume total do objeto. Substituindo o valor de dm, tirado da equação (16), na equação (15) temos que
                               (17)
Estas integrais são resolvidas sobre o volume do objeto.

            Muitos objetos têm simetria um ponto, uma linha ou um plano de simetria. O centro de massa desses objetos está localizado no ponto, na linha ou no plano. Por exemplo, o centro de massa de uma esfera homogênea (a qual tem um ponto de simetria) é o próprio centro da esfera. Um fato interessante é que o centro de massa de um objeto não necessariamente está dentro do objeto.
 
 
 

6- Centro de Massa e o Movimento de Translação

            Como mencionado na seção anterior, a maior razão para a importância centro de massa é que o movimento do CM para um sistema de partículas está diretamente relacionado com a força resultante agindo no sistema como um todo. Nós mostraremos isto agora, levando em conta o caso simples do movimento unidimensional de três partículas.

            Suponha que as três partículas se movem no eixo x e tenham massas m1, m2 e m3 e posições x1, x2 e x3, respectivamente. A partir da equação do centro de massa (14), podemos escrever

,

onde M = m1 + m2 + m3 , é a massa total do sistema. Se as partículas estão em movimento, ao longo do eixo x com velocidades v1, v2 e v3 , respectivamente, então em curto espaço de tempo D t cada uma deve ter viajado uma distância de



onde x¢1,, x¢2 e x¢3 representam a suas novas posições percorridas no intervalo de tempo D t. A nova posição do CM é igual a

.

Subtraímos uma equação do CM da outra, obtemos

        .

Durante o intervalo de tempo D t, o centro de massa se moveu uma distância igual a

        ,

onde vcm é a velocidade do centro de massa. Isto leva-nos a seguinte relação,


.                                                                                  (17)
            O lado direito da equação acima é exatamente a soma dos momenta de cada partícula do sistema, ou o momentum total do sistema. Este resultado mostra que o momento linear total de um sistema de partículas é igual ao produto da massa total M pela velocidade do centro de massa do sistema. Ou, o momento linear de um corpo extenso é o produto das massas pela velocidade do CM.

            Se as partículas estão sobre a ação de uma força, elas poderão ser aceleradas individualmente, mudando as suas velocidades de acordo com

Este resultado sugere-nos dividir a equação (17) por D t, para determinar a aceleração do CM, como a seguir

.

De acordo com a segunda lei de Newton, Fi =miai , então,

Isto significa que a força agindo sobre o sistema é igual ao produto da massa total vezes a aceleração do centro de massa. Este resultado mostra que a segunda lei de Newton continua sendo válida mesmo no caso de um sistema composto por várias partículas. Este é um dos resultados mais importantes da mecânica newtoniana. Concluímos com isto que o movimento de um sistema de muitas partículas é equivalente ao movimento de uma única partícula com as massas das partículas concentradas no seu centro de massa. Isto justifica termos usado, até agora, o movimento terrestre como sendo o movimento de uma única massa MT, (carros, casas, pessoa, montanhas, rios …) concentradas no centro da Terra.

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