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- Introdução
- Trabalho realizado por uma força constante
- Trabalho realizado por uma força variável
- Energia Potencial
- Uma relação geral entre Força e Energia Potencial
- Potência
- Momento Linear  -  Momentum
- A Conservação do Momentum
- Colisões e Impulso

Aula-5


  1- Introdução

            Até agora estudamos o movimento de objetos em termos das três leis de Newton. Nestes estudos a força teve um papel crucial na descrição do movimento. Neste capítulo e nos próximos, nós apresentaremos uma análise alternativa para descrever o movimento de objetos em termos das grandezas energia e momentum. A grande importância destas grandezas é que elas se conservam. Esta conservação existe não só para dar nos uma compreensão da natureza do universo, mas também uma forma prática de resolver problemas relacionados ao movimento.

            As leis de conservação da energia e momentum são especialmente valiosas quando tratamos de sistemas com muitos corpos, nos quais considerações detalhadas sobre as forças é um problema de solução difícil.

            Este capítulo se dedicará a introdução do conceito de energia e sua relação com o trabalho. Trabalho e energia são grandezas escalares e portanto não têm uma direção associada a elas. A energia tem a sua importância justificada por dois motivos principais. Primeiro, é uma grandeza conservada. Segundo, a energia é um conceito que é útil não somente nos estudo dos movimentos, mas em todas as áreas da física, assim como de outras ciências. Esta universalidade do conceito de energia torna possível, por exemplo, seguir a trajetória do fluxo da energia nuclear solar, atravessando o espaço em forma de radiação, sendo transformada em energia química pelas plantas e finalmente em energia mecânica nos músculos dos animais que alimentam-se destas plantas. A lei de conservação garante que mesmo com estas mudanças de forma a energia total é uma constante. Esta lei de conservação diz-nos o que pode e o que não pode ocorrer na natureza, isto é, o que é e o que não é energeticamente possível.
 
 

  2- Trabalho realizado por uma força constante

            A palavra trabalho tem uma variedade de significados na linguagem do dia a dia, em particular é aplicada a qualquer forma de atividade que requer um esforço mental ou muscular. Mas, em física, trabalho tem o significado muito específico de descrever o que é realizado pela ação de uma força, sobre um objeto, quando ele move de um ponto a outro. Especificamente o trabalho feito por uma força, sobre um objeto, é definido como sendo o produto da intensidade do deslocamento multiplicada pela força paralela ao deslocamento. Matematicamente podemos escrever,

onde F|| é a componente da força F paralela ao deslocamento d. Podemos escreve-la, também, na forma de um produto escalar entre os vetores F e d, como a seguir

                                                                      (1)
 onde q é o ângulo entre os dois vetores. Dessa forma, o trabalho é uma grandeza escalar e tem portanto, apenas intensidade ou magnitude.

            De acordo com a equação (1) a força produzirá um trabalho máximo quando ela for paralela ao deslocamento d. Neste caso q = 0 e cos q = 1. Consequentemente forças agindo perpendicularmente ao movimento de um corpo não realizará trabalho.

No sistema de unidades internacionais (SI), o trabalho tem a unidade de Nm = joule (J). No sistema CGS a unidade de trabalho é o erg = 1 dina.cm = 10-7 J.

            De acordo com esta definição, quando um corpo é levantado por uma força, o trabalho realizado é positivo; quando uma mola é distendida o trabalho é positivo. Por outro lado, o trabalho da força gravitacional sobre um corpo que está sendo levantado é negativo, pois a força gravitacional (dirigida para baixo) é oposta ao deslocamento do corpo. Quando um objeto desliza sobre uma superfície fixa, o trabalho realizado pela força de atrito sobre o objeto é negativo pois a força tem sempre o sentido oposto ao do deslocamento do objeto. Por outro lado, nenhum trabalho é realizado pela força de atrito sobre a superfície fixa, pois ela não se desloca. Dessa forma, embora possa ser considerado um trabalho pesado segurar uma bola de 30 kg, nenhum trabalho será realizado, no sentido técnico pois não há movimento. Do mesmo modo, o trabalho da força normal exercida por um livro na superfície da mesa, bem como o trabalho da força centrípeta sobre um objeto que se move em círculo, são nulos.
 

  3- Trabalho realizado por uma força variável

            Na seção anterior discutimos o trabalho realizado por uma força constante. No entanto, o trabalho é realizado por uma força variável em direção, sentido ou intensidade durante o deslocamento. Assim, quando uma mola é esticada lentamente, a força requerida para isto aumenta à medida que a mola aumentar o comprimento; quando um corpo é lançado verticalmente, a força gravitacional exercida pela Terra decresce em proporção inversa à distância do corpo ao centro terrestre.

            Suponha que um partícula, movendo ao longo de uma linha, está sob a ação de uma força variável com a posição e seja ainda paralela a essa linha. A Fig.5-1, mostra a variação do módulo da força em função da coordenada x da partícula. Para encontrar o trabalho realizado por esta força, dividi-se o deslocamento em pequenos segmentos D x1, D x1, … D xn. Em cada segmento temos um valor para a força atuando sobre a partícula. Assim o trabalho total realizado é igual a soma dos trabalhos infinitesimais,

                                                         (2)
Cada termo na soma (2) representa o trabalho realizado por uma força constante cujo valor é aproximadamente igual ao valor mínimo da força real no intervalo infinitesimal D x. Cada retângulo, na Fig. 5-1, tem um área dada por Fi .D xi, onde o índice i assume o valor i=1,2,3,…n, correspondendo a cada um dos retângulos mostrados. Consequentemente a equação (2) é a soma das áreas devido a todos os segmentos o que equivale a área total sob a curva F=F(x).

Fig. 5-1

Como o número de segmentos torna-se muito grande a medida que diminuimos o intervalo em x, esta soma torna-se (no limite) a integral de F em função de x:

                                                         (3)
            Neste sentido, a integral é uma soma contínua de Fdx, no intervalo de a até b. Usaremos esta integral como sendo nossa definição de trabalho. O valor deste trabalho integral é função da dependência de F com x. Contudo, é fácil mostrar que esta integral é sempre igual a variação na energia cinética.

Para demonstrar esta afirmação vamos fazer uso da segunda lei de Newton, isto é

                                                             (3)
Substituindo este resultado na equação (3), obtemos
                                                                      (4)
Como D xi ® 0, então as quantidades D ti e D vi também tendem a zero neste limite. Nós podemos agora reescrever a equação (4) como a seguir
                                                         (5)
onde v1 e v1 são as velocidades do objeto nos pontos a e b, respectivamente. Esta integral é simples de ser resolvida, sabendo a que anti-derivada de v é v2/2 :
                                                                          (6)
            O lado direito da equação (6) é denominado de energia cinética do objeto. Este resultado mostra que o trabalho realizado por uma força sobre um objeto é igual a variação da energia cinética. Algumas vezes este resultado é chamado de teorema do trabalho-energia cinética, para forças variáveis.
 
 

  4- Energia Potencial

            Na seção anterior discutimos como associar o movimento de um objeto a uma energia, a qual denominamos de energia cinética. Mas, podemos também mostrar que existe uma energia associada com a força aplicada, em um objeto, que depende da posição e configuração do sistema. Ela é conhecida como energia potencial. Muitas vezes o trabalho realizado pela força aplicada não provoca aumento na energia cinética do corpo, pois outras forças atuam e efetuam trabalho negativo da mesma intensidade que o positivo. Por exemplo, para levantar um objeto, lentamente e com velocidade constante, na superfície terrestre temos que realizar trabalho e consequentemente será gasto uma energia para movimentá-lo de um ponto a outro. Se a energia se conserva, para onde vai esta energia ? A onde e como ela fica acumulada ? Dizemos que esta energia está acumulada em termos de energia potencial gravitacional, a qual depende estritamente da posição do objeto relativo ao centro da Terra.
 

  - Energia potencial gravitacional

            O trabalho realizado pela força gravitacional quando uma massa muda a sua altura em relação a superfície da Terra é dado pela expressão,

                                                                      (7)
            O negativo desta quantidade é igual ao trabalho realizado para vencer a força da gravidade que atua sobre a massa m. Veremos que este trabalho reaparece como a variação da energia cinética quando a massa cai do ponto y2 para o ponto y1. Com isto, podemos definir a energia potencial gravitacional por

 ou

            Este trabalho realizado para mudar a posição da massa também pode ser correlacionado com a variação da energia cinética, pois ao mover o objeto entre os pontos y1 e y2, ele teve a sua velocidade modifica. Como a energia total se conserva temos que, neste processo, a energia cinética foi transformada e acumulada em termos de energia cinética. Quando o objeto mover-se no sentido inverso, transformará energia potencial em cinética novamente. Isto pode ser equacionado da seguinte forma

onde D Ec é a variação na energia cinética. Esta equação pode ser reescrita como a seguir

                                                         (8)
 o que é equivalente a
                                                                  (9)
Definindo a energia mecânica total como sendo E = Ec+U, temos que E1 = E2. Este resultado garante que a energia total inicial (cinética + potencial) é igual energia total final, como estabelecido pela lei de conservação da energia.
 

  - Sistema Massa-Mola

            Um outro exemplo comum onde a energia potencial aparece no caso do movimento de massas acopladas a molas. Ao mover uma massa m, presa nas extremidade de uma mola, perceberemos rapidamente que será necessário despender uma energia, ou realizar trabalho, para comprimi-la ou estende-la.

            Para compreender melhor este fenômeno, vamos estudar um sistema massa-mola como desenhado na Fig.5-2. A partir de resultados experimentais, pode-se mostrar que a força que a mola (estendida ou comprimida) exerce sobre a massa é proporcional afastamento da massa com relação a posição de repouso, isto é F = -kx, onde x é a medida do deslocamento. Isto é conhecido como lei de Hooke. O sinal negativo significa que a força é sempre restauradora, isto é, ela agirá no sentido de manter a massa no ponto de equilíbrio. Se a mola estiver comprimida a força será no sentido de estender a mola, e caso contrário ela estiver estendida a força será no sentido de comprimi-la. A constante k é chamada de constante da mola e tem dimensão de força/comprimento. Esta lei de força se aproxima de muitas forças na natureza. Como por exemplo, as ligações químicas podem, em certos casos, serem descritas por estas forças elásticas.


Fig. 5-2

 O trabalho realizado para mover uma massa presa em uma das extremidade da mola é igual a
 

                                                (7)
ou
                                                             (8)
onde  é a energia potencial elástica.

A equação (7) mostra que o trabalho realizado para mover uma massa sob a ação de uma mola, depende apenas da posição da mola e não de sua velocidade, como no caso da relação trabalho-energia cinética. Esta energia acumulada, por exemplo, pode ser transformada em energia cinética.

Usando o teorema da conservação de energia total temos que a soma das energias cinética e potencial deve ser uma constante,

                                                             (9)
  - Sistema Massa-Mola na presença de uma Força Gravitacional

            Vamos considerar agora um sistema massa-mola sobre a influência da força gravitacional. Este sistema é uma combinação dos dois casos anteriores, como mostra a Fig. 5-3.


Fig. 5-3

            Quando ambas forças, elástica e gravitacional, agem simultaneamente em um objeto, o trabalho realizado sobre o corpo consiste de dois termos. Se a mola estiver orientada verticalmente, a força no objeto devido a mola é igual a

                                                                              (10)
e a gravitacional
                                                                              (11)
 Consequentemente o trabalho realizado será uma contribuição devido a mola e a gravidade, isto é
                           (12)
 Resolvendo as duas últimas integrais temos que,
                                        (13)
Aplicando o teorema trabalho-energia podemos correlacionar o resultado acima com a energia cinética devido ao movimento do sistema massa-mola, sobre a influência da força gravitacional. Assim,
                                   (14)
            Isto significa que qualquer acréscimo (decréscimo) na energia potencial é balanceado por um decréscimo (acréscimo) na energia cinética. Isto leva-nos a definir a energia total como uma soma de três termos: a energia cinética, a energia potencial elástica e a energia potencial gravitacional. A soma desta três energias é igual a energia total, isto é,
                                                (15)
 Mais uma vez temos a conservação da energia total.
 

  5- Uma relação geral entre Força e Energia Potencial

Uma definição geral de energia potencial, para forças não conservativas, em uma dimensão é dada por

                                                                          (16)
ou de forma mais simplificada
                                                                                  (17)
 Sempre que uma equação integral do tipo (17) é dada, nós podemos escreve-la em uma forma de equação diferencial. Isto deve-se ao fato de que derivadas e integrais são operações inversas:
                                            (18)
ou
                                                                                  (19)
A força agindo em qualquer ponto x é dado pelo valor negativo da inclinação da curva U(x), naquele ponto.
A Fig.5-4 mostra um esboço de U versus x, U(x) =½kx2, no caso de uma sistema massa-mola. A força elástica, de acordo com a equação (19) é igual a derivada do U(x) em função de x, isto é;
                                                                 (20)



Fig. 5-4

            Graficamente a força F(x) é a inclinação da curva U(x) no ponto x. No caso particular x = 0, ponto de equilíbrio da mola, a força é igual a zero, consequentemente a inclinação também será nula.
 
 

  6- Potência

A potência média é definida como a razão temporal em que o trabalho é realizado, ou a razão com a qual a energia se transforma. Isto é,

                                                (21)
 no limite em que Dt tende a zero temos que
                                                                                 (22)
            A potência do motor de um carro refere-se a quantidade de trabalho que ele pode realizar por unidade de tempo. No sistema de unidades internacionais (SI), a potência é medida em Joules/segundo (J/s) = 1watt (W). Em geral, o watt é usado para medidas elétricas. Esta unidade nos é familiar, pois ela é a medida com a qual nós classificamos, por consumo, os aparelhos elétricos, como por exemplo, o chuveiro, as lâmpadas, a geladeira, etc.

            É muito importante perceber a distinção entre energia e potência. Para ajudar a fazer esta distinção considere o seguinte exemplo: Uma pessoa está limitada, freqüentemente, no trabalho que ela pode realizar, não somente pela energia a ser gasta, mas também quão rápido esta energia deve ser transformada, isto é a potência. Por exemplo, uma pessoa ao subir uma escada realizará o mesmo trabalho, subindo lentamente ou correndo. No segundo caso a potência será maior pois realizará o mesmo trabalho em menor tempo. A pessoa estará limitada, neste caso, pela potência que é a razão com a qual o corpo dele pode transformar energia química em mecânica.
 
 

  7- Momento Linear

            A lei de conservação da energia, discutida nas seções anteriores, é uma das várias leis de conservação em física. Entre estas quantidades conservadas estão o momento linear (momentum), o momento angular e carga elétrica, as quais serão discutidas posteriormente em detalhe, pois elas têm um papel de suma importância em todas as ciências. Nesta seção discutiremos a conservação do momento linear e suas conseqüências e aplicações em física.

            O momento linear ( mais simplesmente momentum) de um corpo é definido como sendo produto da massa pela sua velocidade. O momento, (cujo plural é momenta) é usualmente representado pelo símbolo p. Se m é massa de um objeto e v a sua velocidade, então o momento é dado por

  .                                                                                (23)
            Sendo a velocidade um vetor o momento também o será. A direção do vetor momento é a mesma da velocidade. A unidade de momento no SI é massa´ velocidade = kg× m/s. Não existe um nome especial para esta unidade.

            De acordo com a equação (23), um carro com alta velocidade tem um momentum maior do que se ele estiver a baixa velocidade. Por outro lado, um caminhão, viajando com a mesma velocidade de um carro pequeno, terá um momentum maior comparado como do carro, pois a sua massa é maior.

            Se o momentum de um dado objeto é variável no tempo, isto significa que existe uma força agindo sobre ele. Uma variação positiva no momento significa que o corpo esta sendo acelerado e com velocidade crescente. No caso variações negativas significa que o objeto esta sendo freado. De acordo com a segunda lei de Newton a força e a variação do momentum estão diretamente ligadas uma a outra, pela equação

  .                                                        (24)
            Na equação (24) vemos que a variação da massa, pode produzir uma força. Esta variação de m aparece em duas situações diferentes: uma delas quando um objeto esta perdendo massa no sentido por exemplo de um carro queimando o seu combustível. Isto significa que durante a viajem a massa do carro vai variando. A segunda possibilidade é uma conseqüência da teoria da relatividade, que estabelece que todo corpo em movimento tem a sua massa variável, dada pela equação
                                                                                              (25)
onde mo é a massa de repouso do objeto. Esta segunda possibilidade é diferente da variação de m, inicialmente pensada por Newton. A equação (25) surge da teoria da relatividade proposta por Einstein.
 
 

  8- A Conservação do Momentum

            O conceito de momentum é particularmente importante por ser uma quantidade que se conserva. Já no século XVII se conhecia que a soma dos momentos de duas bolas, num processo de colisão, era uma constante. Por exemplo, o choque entre duas bolas de bilhar tem o momento conservado (Fig.5-5). Isto significa que a soma dos momentos iniciais das duas bolas será igual a soma dos momentos finais. Matematicamente isto pode ser equacionado da seguinte forma

                                                                  momentum antes = momentum depois

                                                             (26)
 onde v’ são as velocidade finais. A equação (26) implica que o momento total antes e depois do choque são constantes.

         Apesar da conservação do momentum ter sido introduzida inicialmente por vias experimentais, ela pode ser derivada da segunda lei de Newton, como mostramos a seguir:

                                                                                  (27)



Fig.5-5 choque entre duas partículas

 Aplicando a equação (27) no caso do objeto 2 e levando em conta que a força F21 no objeto 2 devido a 1, temos que

 Pela terceira lei de Newton temos que F12 = -F21, então

.

 Combinando estas duas últimas equações temos que

 ou

 O que é a própria conservação do movimento em um sistema isolado, isto é o momento total inicial é igual ao final.

Um sistema é um conjunto de objetos interagentes entre si. Um sistema é dito isolado quando todas as forças presentes são exclusivamente aquelas existentes entre os elementos componentes do sistema. Isto tem como conseqüência que a soma destas forças, de acordo com a terceira lei de Newton, de ser igual a zero.
 

  9- Colisões e Impulso

            A conservação do momento é uma ferramenta muito útil na estudo dos processos relativos à colisão entre objetos. Colisões são processos de ocorrência freqüente no nosso dia a dia: o choque da bola de futebol com a trave do gol, o choque entre dois carros em um acidente e o choque entre bolas de bilhar, são alguns exemplos de colisão. Em particular, a nível atômico, colisões entre partículas elementares ou mesmo de elétrons com átomos e seus constituintes são objetos de estudo na física moderna.

            Em um processo de colisão entre dois objetos, ambos são deformados durante o choque. Isto deve-se ao fato do aparecimento de forças de contato intensas, ocorrendo um curto espaço de tempo. O gráfico a seguir mostra a variação da força em função do tempo durante um processo de colisão típico.


Fig. 5-6

 De acordo com a segunda lei de Newton a força sobre um objeto é igual a taxa de variação temporal do momentum:

 Esta equação se aplica a cada objeto envolvido na colisão. Esta equação pode ser escrita por

                                                                                   (28)
            O produto F× D t é conhecido freqüentemente por impulso. Isto significa que a variação no momentum de um objeto é igual ao seu impulso. O conceito impulso é de extrema valia nas colisões onde as forças envolvidas agem por um tempo infinitamente pequeno. Estas forças não são, em geral, constantes e variam com o tempo, como mostra a Fig.5-6(b). Nas aplicações mais freqüentes, estas forças variáveis podem ser representada por uma força média. A força média é escolhida, neste caso, como sendo equivalente a área sombreada na Fig.5-6 (b) sob a curva F versus t.

O impulso pode ser definido também na forma integral, como a seguir

            Se o impulso de uma força for positivo, o momento linear de um corpo, sobre o qual ela é exercida, aumentará algebricamente. Se o impulso for negativo, o momento linear decrescerá. Se o impulso for nulo, não haverá variação no momento linear.

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         Last Updated: Jan/16/2000
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