- Movimento Circular Uniforme
- Movimento Circular Não-Uniforme
- Movimento de Satélites Artificiais
- Efeito da Rotação da Terra em g
- Leis de Kepler
- Tipos de Forças na Natureza
- Exemplos

  4-1 Movimento Circular Uniforme

            Nos movimentos circulares a direção do vetor velocidade varia continuamente. Nós consideraremos aqui os movimentos circulares cuja velocidade tem magnitude constante. Vimos anteriormente que no caso de movimento em uma dimensão, os corpos não têm aceleração quando a velocidade é constante. Contudo, se o movimento ocorre em mais de uma dimensão a afirmação nem sempre é verdadeira. Neste caso podemos ter um objeto acelerado mesmo que a sua velocidade seja constante.

            Nos movimentos circulares uniformes, a velocidade não muda de intensidade mas muda a direção continuamente como um objeto faz ao mover-se em torno de um círculo, Fig.4-1. Em resumo temos que;

- os vetores velocidades são diferentes na direção e sentido 
- mas têm módulos iguais 

Fig.4-1
Veja aqui simulação de um movimento circular

                                                                                                            (1)

Fig. 4-2

Os vetores v₁ e v₂ representam as velocidades nos pontos A e B. O vetor variação de velocidade, Dv, é traçado na Fig.4-2b. O objeto se move de A até B no tempo Dt. Os triângulos OAB e oab, nas Figs.4-2 são semelhantes, pois são isósceles, com seus lados maiores mutuamente perpendiculares. Então,

.                                                                                          (2)

                                                                                                            (3)

.                                                                                               (4)

.                                                                                                                (5)

            Na discussão anterior, a velocidade da partícula foi supostamente constante. Mesmo que ela varie ainda fornece a componente normal da aceleração, mas, neste caso, também haverá uma componente tangencial da aceleração, a_|| , igual à taxa de variação do módulo da velocidade:

.                                                                                                            (6)

            De acordo com a segunda lei de Newton (eq.3-2) , um objeto que está acelerado deve estar necessariamente sobre a ação de uma força. Um objeto movendo-se em círculo, tal como uma bola amarrada em uma corda, deve estar sobre a ação de uma força centrípeta de forma a mante-lo em movimento circular. A magnitude da força requerida pode ser calculada usando a Segunda lei de Newton para a componente radial. Isto é,

.                                                                                                   (7)

            O movimento circular é freqüentemente descrito em termos da freqüência f, como sendo o número de revoluções por segundo. O período T de um objeto se movimento em círculo é o tempo requerido para se completar uma revolução. O período e a freqüência estão relacionados por;

                                                                                                                 (8)

                                                                                                                  (9)

            Um exemplo comum de aceleração centrípeta ocorre quando um automóvel faz uma curva Fig.4-3. Em tal situação, o passageiro sente que está sendo jogado para fora do carro e da curva. Então, onde esta força centrípeta tão misteriosa ? O que acontece é que o passageiro tende a continuar se movendo em linha reta enquanto o carro continua fazendo a curva. Para fazer com que o passageiro percorra o caminho curvo, junto com o carro, o atrito do seu corpo com o banco assim como a porta do carro (contato direto) exercerão uma força centrípeta sobre o passageiro puxando para dentro da curva. No caso do carro, a força de atrito dos pneus com o asfalto (força centrípeta) se oporá a força centrífuga, mantendo-o na pista. Em dias de chuva ou na presença de neve a força de atrito pode diminuir fazendo com que a força de centrífuga, agindo sobre o carro, jogue-o para fora da pista.

  4-2 Movimento Circular Não-Uniforme

            Um movimento circular uniforme ou a velocidade constante ocorre quando a força resultante sobre o objeto age no sentido do círculo. Se a força resultante não está diretamente dirigida ao centro, mas forma um ângulo diferente de zero com o raio do círculo, então a aceleração terá uma componente tangencial. Esta força tangencial mudará não só o módulo como também a direção do vetor velocidade. Ela poderá provocar também, mudança de trajetória do objeto passando-o para um órbita de raio diferente. Então, em um movimento circular, quando a velocidade de um objeto está mudando significa que a força (ou a aceleração) tem uma componente tangencial.

A componente tangencial da aceleração, a_tan, é igual a taxa de variação da magnitude da velocidade do objeto:

.                                                                                                            (10)

.                                                                                                              (11)

                                                                                                             (12)

.                                                                                                       (13)

            Uma outra aplicação importante do movimento circular é a determinação das órbitas estacionárias de satélites artificiais. Este problema envolve conhecimentos da lei da gravitação de Newton assim como da teoria dos movimentos circulares, estudada nas seções anteriores.

            Ao discutir o lançamento de projétil, em seções anteriores, consideramos que a força gravitacional aplicada ao projétil (seu peso P) tinha a mesma direção e a mesma intensidade em todos os pontos da trajetória. Estas condições são aproximadamente satisfeitas se o projétil permanecer próximo à superfície da Terra e se a trajetória for pequena em comparação com o raio da Terra. Nestas condições a trajetória será uma elipse.

            Na realidade, a força gravitacional é dirigida para o centro da Terra e inversamente proporcional ao quadrado da distância ao seu centro, de modo que ela não é constante, seja em intensidade ou direção. Pode-se mostrar que, na presença de uma força que varia com o inverso do quadrado da distância e dirigida para um ponto fixo, a trajetória é uma cônica (elipse, círculo, parábola ou hipérbole).

            Suponha que pudesse ser construída uma torre muito alta, Fig4-4, e que um projétil fosse lançado do ponto A, no topo da torre, na direção horizontal AB. Se a velocidade inicial não for muito grande, a trajetória será semelhante à de cor verde, na Fig.4-4, que é um arco de uma elipse com o centro da Terra em um dos focos. Se a trajetória for tão pequena que as variações do peso do projétil em intensidade possam ser desprezadas, a elipse aproxima-se de uma parábola.

            As trajetórias de 1 à 6 ilustram este efeito de crescimento da velocidade inicial. As trajetórias 1 e 2 ainda são arcos de elipses. Nos outros casos, já temos trajetórias completas e o projétil torna-se um satélite terrestre. Quando o satélite passar de volta ao ponto A terá a mesma velocidade de partida. Em todos estas órbitas, se não houver forças de retardamento, o satélite ficará orbitando indefinidamente. No caso particular da órbita I, ele terá uma órbita infinita. No caso real, a rotação da Terra deslocará a torre para um ponto diferente durante o tempo que o satélite retorna ao ponto A, mas a órbita não será afetada.

Fig.4-4

            A órbita número 3 é uma órbita especial, pois ela circular. A trajetória número (4) é novamente uma elipse, (5) uma parábola e (6) uma hipérbole. As trajetórias além do número (5) e (6) não são órbitas fechadas e, por isso, esses satélites nunca retornarão ao ponto de origem.

            Para calcular as propriedades de uma órbita do tipo circular, podemos fazer uso da lei da gravitação de Newton combinada com o movimento circular. Então,

,                                                                                           (14)

                                                                                       (15)

                                                                                                    (16)

.                                                                              (17)

                                                                                                             (18)

                                                                                       (19)

                                                                                                        (20)

            Um satélite geo-síncrono é um tal que permanece fixo um mesmo ponto de um órbita paralela ao equador da Terra. Este tipo de satélite é usado freqüentemente nas transmissões de TV a cabo. O raio da órbita destes satélites podem ser determinada usando a lei da gravitação de Newton, como a seguir.

            A única força agindo sobre o satélite é a força gravitacional, assim podemos aplicar a equação (14), assumindo que a órbita é circular :

,                                                                                               (21)

            A equação tem duas variáveis desconhecidas, r e v. Mas, nós sabemos que a velocidade v é deve ser tal que tem o mesmo período de rotação da Terra, em torno do seu eixo, isto é 24 horas. Então, a velocidade do satélite será dada por
 

onde T = 1dia = 86.400 s. Substituindo este resultado na equação (21) e fazendo as devidas simplificações obtemos:
 

de onde podemos tirar o valor do raio da órbita.
 

ou r = 4,23 x 10⁷m, ou 42.300 km do centro da Terra. Subtraindo o raio médio terrestre a distância do satélite à superfície, que é igual a 36.000 km, ou aproximadamente 6 vezes o raio da Terra. Consequentemente, podemos calcular a velocidade do satélite, a qual é igual a v = 3070 m/s.
 
 

  4-4 Efeito da Rotação da Terra em g
 

            Por causa de sua rotação, a Terra não é precisamente um sistema inercial de referência, e o peso aparente de um objeto na superfície terrestre não é precisamente igual à atração gravitacional da Terra. Supondo que a Terra seja esfericamente simétrica, a sua atração gravitacional, isto é, o peso verdadeiro P_o, tem o mesmo módulo F_g = Gmm_T/R² em todos os pontos da sua superfície. Suponha-se também que o centro da Terra possa ser escolhido como a origem de um sistema inercial de coordenadas, ignorando o movimento orbital da Terra, que é um efeito muito menor do que a sua rotação em torno do próprio eixo. Assim, o corpo no pólo norte estará em equilíbrio em relação ao sistema inercial e então, o peso real será igual ao peso aparente. Mas, no equador, o corpo se move em um círculo de raio r, com velocidade v e para que isto ocorra deve haver uma força resultante para o centro da Terra igual à massa vezes a aceleração centrípeta:
 
 

.                                                                                               (21)

Neste caso, o módulo do peso aparente (igual a P) será igual a:
 
 

.                                                                                               (22)

            É importante notar que se não considerássemos a Terra rodando, o corpo abandonado à superfície teria uma aceleração de queda livre g_o = P_o/m, acrescida de sua revolução real em relação ao observador no equador será dada por g = P/m, isto é,
 

.                                                                                               (23)

  4-5 Leis de Kepler

            Aproximadamente meio século antes de Newton propor as suas três leis do movimento e a lei da gravitação universal, o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) escreveu vários trabalhos nos quais o movimento dos planetas do sistema solar foram escritos de forma detalhada. Os trabalhos de Kepler foram baseados nos resultados obtidos por Tycho Brahe (1546-1601) referentes ao movimento do sistema planetário solar. Kepler organizou os resultados conhecidos até a época em três leis conhecidas hoje, por leis de Kepler para o movimento planetário. Veja Fig.4-5. Elas podem ser resumidas como a seguir;

  (i) Primeira Lei de Kepler : Todos os planetas movem-se em órbita elíptica tendo o Sol em um dos focos. Veja Fig.4-5(a).

  (ii) Segunda Lei de Kepler : Uma reta unindo o Sol a um planeta varre áreas iguais em tempos iguais. Veja Fig.4-5(b).

  (iii) Terceira

            Lei de Kepler : A razão entre os quadrados de qualquer par de planetas girando em torno do Sol é igual a razão entre os cubos dos raios médios de cada órbita. Esta lei é equacionada por 

                                                                          (24)

Isto significa que a razão r³/T² é a mesma para qualquer planeta.

Fig. 4-5

A Tab.4-1 mostra algumas dessas grandezas para diferentes planetas do sistema solar, calculadas através das teorias presentes até o presente momento.
 
 
 
 

            Newton foi o primeiro a mostrar que as leis de Kepler poderiam ser derivadas matematicamente a partir da lei universal da gravitação e das lei de movimento. Ele mostrou também apesar de existir várias possibilidade para definir a força gravitacional, apenas a força que varia com o inverso do quadrado da distância está completamente de acordo com todas as três leis de Kepler. Newton usou as leis de Kepler como evidências da sua lei da gravitação universal.

A terceira lei de Kepler pode ser derivada facilmente usando o movimento em órbitas circulares. Usando a segunda lei Newton temos que:
 

                                                                                       (25)

            Onde m₁ e r₁ são a massa e o raio de um dado planeta, v₁ a sua velocidade média e M_s é a massa do Sol. Temos usado também a relação v₁ = 2p r/T₁. A equação acima pode ser reescrita por

                                                                                                (26)

Podemos obter uma equação equivalente para qualquer planeta. Vamos imaginar que o primeiro seja a Terra e o segundo Marte. Então,
 
 

                                                                                                  (27)

Podemos notar que as duas últimas equações têm os lados direitos iguais. Dessa forma podemos igualar também os seus lados esquerdos,

                                                                          (28)

Esta equação é exatamente a terceira lei de Kepler.
 
 

  4-6 Tipos de Forças na Natureza
 

            Neste capítulo estudamos, mais detalhadamente, a lei da gravitação de Newton, a qual descreve a interação entre objetos com massa. Por outro lado, a segunda lei Newton diz-nos como um dado corpo será acelerado sob a ação de uma força. Então, quais são as forças existentes na natureza além da gravidade ?

            Os físicos, até o momento, reconhecem quatro tipos de forças fundamentais: (1) a força gravitacional; (2) a força eletromagnética; (3) as forças nucleares fortes; e (4) as forças nucleares fracas. Nos próximos capítulos trataremos mais detalhadamente as forças elétricas e nucleares. As forças nucleares se manifestam a nível dos núcleos atômicos e estão de certa forma ligadas as radiações nucleares.

            Os físicos têm trabalhado na construção de uma teoria que venha unificar estas quatro forças, isto é, considerar algumas ou todas as forças como manifestações da mesma força básica. A tentativa de unificar estas forças, tal como na GUT (grand unified theories), é um dos assuntos de pesquisa mais modernos e quentes atualmente.
 

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