Exemplo 1 : Aceleração centrípeta da lua

            A trajetória da lua em torno da Terra é praticamente circular com raio igual a 384.000 km e o período é de 27,3 dias. Calcular a aceleração da lua devido ao seu movimento em volta da Terra.

  Solução :
        A extensão da órbita lunar em volta da Terra é igual a 2p r, onde r = 3,84 x 10⁸ m é o raio da trajetória circular. A velocidade da Lua na órbita é v = 2p r/T, onde o período T = 2,36x 10⁶ s. Portanto,

Nós podemos escrever esta aceleração em termos da g, como a seguir,

.

  Exemplo 2 :

        Uma bola de 0,200 kg, amarrada na extremidade de um fio de 1.20 m de comprimento e massa desprezível, gira em círculo na vertical.

(a) Calcular a velocidade mínima que a bola deve ter, no topo da trajetória (ponto A), para que ela continue o seu movimento circular.

(b) Calcular a tensão na corda, no ponto inferior da circunferência (ponto B), assumindo para isto que a velocidade neste
      ponto é 2 vezes superior a velocidade no ponto A.

  Solução (a):

            O diagrama de forças atuando sobre a bola é apresentado na figura E-2, para ambas situações. No topo (ponto A), duas forças agem sobre a bola : mg (o peso) e tensão na corda. Ambas forças têm o mesmo sentido e estão apontando de cima para baixo. A soma destas duas forças corresponde a força centrípeta sobre a bola. Aplicando a segunda lei de Newton, no ponto A, temos que

.

            Desta equação podemos concluir que a tensão, na corda, será mais intensa quando maior for a velocidade da bola no ponto A. Mas, no problema a pergunta refere-se à velocidade mínima para que a bola continue o movimento circular. Então, se a velocidade é alta a corda fica muito esticada mas, se a velocidade baixa a bola começa a cair, na vertical. Nós queremos, então, uma situação intermediária. Procuramos então, a velocidade mínima tal que a tensão na corda seja igual a zero e que a força gravitacional seja anulada. Com isto a bola continuará o seu movimento circular sem cair em queda livre. Aplicando estas condições na equação acima, tiramos que

.

.

  Solução (b) :

            No ponto B a força da gravidade sobre a bola age de cima para baixo enquanto a tensão na corda age no sentido oposto. Neste caso, a força resultante será

De acordo com os dados iniciais a velocidade no ponto B é igual duas vezes a velocidade mínima, então,
 

  Exemplo 3 :

            Um carro de corrida partindo do repouso e movendo-se em uma pista circular de raio 500m, é acelerado a uma razão uniforme de 40 m/s em 10 segundos. Assumindo que a aceleração tangencial é constante e a massa do carro igual a 1.000kg, encontre:

(a) A aceleração tangencial e
(b) a força centrípeta quando a velocidade for igual a 30 m/s

  Solução (a):

            A aceleração tangencial pode ser facilmente determinada pois conhecemos a taxa de variação da velocidade como o tempo, isto é

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  Solução (b):

A força centrípeta pode ser calculada, usando as equações do movimento circular, isto é
 

Então a força será igual a

            Notamos a que força jogando o para fora da pista é alta. Para que ele continue em movimento circular (dentro da pista) é necessário que os pneus sejam especiais no sentido de criar uma força de atrito com o asfalto, no sentido manter o movimento circular.

  Exemplo 4 :

            Um astronauta é colocado em órbita circular a uma distância de 1.6x10⁵ m acima da superfície terrestre. A Terra tem um raio igual a 6,37x10⁶ m e massa de 5,98x10²⁴ kg. Qual é velocidade orbital do astronauta ?

  Solução :

            A força entre o astronauta e a Terra é igual a

            onde G é constante gravitacional, m a massa do astronauta e a M_T a massa da Terra. A equação acima é uma conseqüência da segunda lei de Newton. Por outro lado, sabemos que para que a órbita seja estacionária é necessário que gravitacional acima seja igual a força centrípeta, isto é;

  Exemplo 5 :

            Encontre o período de um satélite de comunicação em uma órbita circular de 36000 km acima da superfície terrestre, dado que o raio da Terra é de 6.380 km, o período de revolução da Lua em torno da Terra é T = 27,3 dias = 2,36x 10⁶ s, e que a órbita da Lua é circular de raio igual a 384.000 km.

 
  Solução :

            Como dados iniciais estão em função do movimento lunar, temos que usar as leis de Kepler as quais correlacionam os movimentos de dois objetos em órbita planetária. Neste problema, a Terra, a Lua e o satélite formam este sistema planetário. De acordo com a terceira lei de Kepler temos que

 onde r_sat = R_terra + 36000 km = 42380 km é o raio da satélite. Assim,
 

O satélite será do tipo geo-estacionário.

  Exemplo 6 :

            A Terra age sobre um objeto com uma força gravitacional inversamente proporcional ao quadrado da distância entre o corpo e o centro da Terra. Calcule a velocidade de escape da superfície terrestre, isto é, a velocidade com a qual o objeto movendo-se verticalmente deve deixar a superfície ficará em um situação tal que não será atraído de volta a Terra. Considere a Terra esférica com raio igual a 6,38 x 10⁶ m.

  Solução :
        Assumindo que o objeto move ao longo de uma trajetória radial após deixar a Terra, ele sofrerá uma força gravitacional de
 

 onde m e M_T são as massas do objeto e da Terra, respectivamente. Pela segunda lei de Newton, F = ma, e a aceleração de m é então,
 

 Mas, sendo a trajetória radial temos e levando em conta que a aceleração pode ser expressa em termos da taxa de variação da velocidade (v) do objeto, com relação a posição, obtemos

            Agora, queremos que o projétil deixe a Terra (r = R_T) com uma velocidade v_o para atingir uma distância da Terra, na qual não sentirá os efeitos da força gravitacional terrestre. Se ele atinge este ponto, o corpo pode ter velocidade nula no final e mesmo assim não será acelerado de volta a Terra. Sabemos ainda que a força gravitacional é zero no infinito. Então, devemos integrar a equação acima nestes limites,

 O resultado destas integrais nos dá 

 Na superfície da Terra a aceleração da gravidade é igual a 

substituindo o valor de g na equação da velocidade podemos calcular a velocidade de escape, satisfazendo as condições do problema. Assim, 

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Last Updated: Jan/11/2000
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