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Introdução
Alguns desses Vetores
Velocidade Relativa

3.1     Introdução

            Na aula anterior tratamos do movimento de objetos em uma dimensão. Agora estenderemos os estudos aos casos mais gerais de movimentos em duas e três dimensões. Como sabemos, da álgebra vetorial, um vetor fica bem determinado quando conhecemos a sua magnitude, direção e sentido. Isto vale conseqüentemente para o deslocamento, a velocidade, a aceleração e a força que são grandezas vetoriais. Contudo existem outras grandezas como a temperatura, a massa e a energia que não são vetoriais e portanto a elas não está associada qualquer informação relacionada com a direção e sentido. Estas grandezas são denominadas de escalares.

            Durante este curso usaremos a notação em negrito para representar uma grandeza vetorial, como por exemplo; r e v para a posição e velocidade respectivamente.
 

3.2     Alguns desses Vetores
 

a) Os Vetores Posição e Deslocamento

        Como vimos na aula anterior, a posição e o deslocamento de um objeto em relação a um sistema referencial é uma grandeza vetorial. Em coordenadas cartesianas o vetor posição r é representado em sua forma tri-dimensional por;
 

onde i, j e k são os vetores unitários (de módulo 1) nas direções dos eixos x, y e z respectivamente. Os coeficientes x, y e z dá nos a localização do objeto no sistema de coordenadas cartesianas. Algumas vezes usamos também a notação (x,y,z) para representar um ponto no espaço tri-dimensional. Por exemplo, um objeto que esteja localizado na posição (2,3,2) está deslocado 2 duas unidades de comprimento no lado positivo eixo x, 1 unidade no lado positivo do eixo y e 2 unidades no lado positivo do eixo z. Isto pode ser representado graficamente como mostra a Fig. 3.1.
 

Simbolicamente este vetor é representado por;
 

Com base nesta definição podemos introduzir o conceito de deslocamento na forma vetorial;
 

ou em uma forma mais explicita;

onde os x_i, y_i e z_i são as coordenadas do ponto r_i e

são os deslocamentos nas três direções dos eixos cartesiano.
 

b)- O Vetor Velocidade

            De forma análoga as velocidades médias e instantâneas podem ser representadas vetorialmente. Todas as operações de adição e subtração vetorial continuam sendo válidas. A velocidade média, vetorialmente assume a forma;

Sendo D x/D t, D y/D t e D z/D t as componentes vetoriais da velocidade nas direções x, y e z.  Conseqüentemente a velocidade instantânea pode ser escrita como;

onde

são as componentes escalares de v.
 

c)- O Vetor Aceleração

            Em analogia com o caso das velocidades podemos introduzir, também, as acelerações médias e instantâneas vetorialmente. Todas as operações de adição e subtração vetorial também continuam sendo válidas. A representação vetorial da aceleração média é dada por;

 Sendo D v_x/D t, D v_y/D t e D v_z/D t as componentes vetoriais da aceleração nas direções x, y e z. Daí tiramos que a aceleração instantânea pode ser escrita como;

onde

são as componentes escalares da aceleração a.
 

3.3     Velocidade Relativa

            Umas das aplicações mais comum onde freqüentemente se faz necessário o uso das propriedades de um vetor é o estudo da velocidade relativa em mais de uma dimensão. Inicialmente estudaremos como as observações feitas em diferentes sistemas de referência estão relacionadas uma com a outra. Por exemplo, consideremos dois carros se aproximando um do outro, em linha reta, onde cada um viaja com uma velocidade de 50 km/h com respeito a Terra.

Similarmente, quando um carro a 80 km/h ultrapassa um segundo carro, viajando no mesmo sentido à uma velocidade de 65 km/h, o primeiro terá uma velocidade relativa com relação ao segundo igual a v_r = 15 km/h.
 

            Com esses exemplos notamos, que quando os objetos movem-se em uma mesma linha, uma soma simples ou subtração das velocidades envolvidas é suficiente para determinar a velocidade relativa. Isto significa que não é necessário, nestes casos, levar em conta as características vetoriais do movimento. Mas se os movimentos não estão na mesma linha, estas considerações não são válidas e somos forçados a fazer uso das somas vetoriais. Para tornar claro esta afirmação, vamos estudar o movimento de um barco cruzando um rio, veja Fig.3.2

Fig. 3.2  Barco se movendo em um rio, considerando a correnteza.

            Neste exemplo usaremos as seguintes notações; v_br velocidade do barco em relação as águas do rio, v_bm velocidade do barco em relação a margem e v_rm a velocidade do rio em relação a margem. Neste caso, como mostra a Fig.3.2, a velocidade do barco em relação a margem (v_bm) é igual a velocidade do bote no rio (v_br) mais o efeito da correnteza do rio (v_rm). Como este movimento envolve velocidades em direções e sentidos diferentes, é necessário usar somas vetoriais, como mostra o diagrama da Fig.3.2.
 
 

            Neste exemplo, notamos que para o barco chegar na outra margem do rio em um ponto (B) exatamente em frente ao ponto de partida (A) é necessário que o movimento esteja inclinado de um ângulo q com relação a linha que liga os pontos A e B. Como discutido, este fato deve-se a influência da corrente de águas no rio. Caso contrário, se o barco estiver viajando sempre apontando para o ponto B, então ele será arrastado pelas correntezas do rio. Conseqüentemente irá atingir a margem num ponto distante do ponto B. Veja simulações nas Fig. (3-2a) e (3-2b).
 
 

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         Last Updated: Jan/01/2000
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