Exemplo 1-2 :     Velocidade média de um corredor

            Durante os primeiros 5s de intervalo de tempo, a posição de um corredor muda de x₁ = 60.0 m para x₂ = 40.0 ms. Qual é a velocidade média do corredor ?

Solução :
            A velocidade média, como definida anteriormente, é o deslocamento dividido pelo tempo gasto no percurso. O deslocamento é

O intervalo de tempo é D t = 5.0 s. Então a velocidade média é igual a;

O deslocamento e a velocidade média são negativos, o que significa que o corredor está se movendo para a esquerda ao longo do eixo x. Podemos dizer também que a velocidade do corredor é de 4m/s para a esquerda.
 

  Exemplo 1-2 : Distância percorrida por um ciclista

            Qual é a distância percorrida por um ciclista que viaja durante 90 min. em linha reta e com uma velocidade de 20 km/h ?
 

Solução :

            Nós queremos encontrar a distância percorrida, assim devemos usar a equação que correlaciona a velocidade média com o espaço percorrido. Devemos ficar atentos pois o intervalo de tempo e a velocidade foram dados em unidades de tempo diferentes. Neste caso devemos a velocidade de km/h para km/min ou transformar o D t de minutos para horas. O resultado obtido deve ser independente do sistema de unidade que estamos usando. Portanto, vamos escolher trabalhar em km/h. Assim,

O ciclista percorreu, então, 30km após a sua partida.
 

  Exemplo 1-3 : Velocidade de uma partícula

Suponha que o movimento de uma partícula seja descrito pela equação x = a + bt², onde a = 10 cm e b = 4 cm/s².
 

(a) Determinar o deslocamento da partícula no intervalo de tempo entre t₁ = 2s e t₂ = 5s.
(b) Encontrar a velocidade média nesse intervalo.
(c) Determinar a velocidade instantânea no instante t = 2s.
 

Solução (a):

Para o instante t₁ = 2s

Logo o deslocamento será D x = x₂ - x₁ = 110cm - 26cm = 84cm

Solução (b):

Para determinar a velocidade média temos que usar;

Solução (c):

            Sabemos que a velocidade instantânea é calculada no limite em que D t é próximo de zero. Este resultado pode ser obtido de duas formas distintas; a primeira delas usando a equação da velocidade média para o caso em que D t » 0, a segunda possibilidade é derivar a equação da posição em função do tempo.

    Método 1:     No primeiro caso temos que a posição no instante t = 2s + D t é igual a;

O deslocamento durante o intervalo de tempo D t é

Consequentemente a velocidade média durante D t é dada dividindo a equação para D x (acima) pelo intervalo de tempo D t, isto é;

.

Para obter a velocidade instantânea faz-se D t » 0 na expressão para a velocidade média acima. Assim, a velocidade instantânea será igual a v = 16cm/s.

    Método 2:     A outra forma de calcular a velocidade instantânea é tomando a derivada da posição em relação ao tempo;

Assim, para o instante t = 2s a velocidade instantânea é igual a;

Como era esperado, ambos métodos levaram ao mesmo resultado.
 

Aceleração

  Exemplo 1-4 : Cálculo da aceleração média e instantânea

Suponha que a velocidade de uma partícula seja dada pela equação :

,

onde a = 20cm/s e b = 4cm/s³.

(a) Calcular o acréscimo da velocidade da partícula no intervalo de tempo t₁ =2s e t₂ = 5s.
(b) Calcular a acelaração média neste intervalo de tempo
(c) Determinar a aceleração instantânea em t₁ = 2s.

Solução (a):
        Nos instantes t₁ = 2s e t₂ = 5s as velocidade são respectivamente iguais a;

Consequentemente a variação da velocidade no intervalo de tempo D t é igual a;

  Solução (b):

Vamos agora calcular a aceleração média neste intervalo de tempo. Para isto, temos que usar a equação (7) da aula-1;

.

  Solução (c):

            O cálculo da aceleração instantânea pode ser feito usando dois métodos; o primeiro deles é usando a equação da velocidade média para o caso em que D t » 0, o segundo vem do usa da derivada da equação da posição em função do tempo.

     Método 1:     A velocidade instantânea para t = 2s + D t é igual a;

Consequentemente a aceleração média pode ser obtida fazendo D v/D t, então;

A aceleração instantânea pode ser obtida fazendo D t se aproximar de zero, isto é D t » 0. Assim,

O que, matematicamente corresponde a inclinação da tangente a curva v = a +bt².

    Método 2:   Podemos calcular a aceleração instantânea derivando diretamente a equação da velocidade em função do tempo, isto é;

.

.

 

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Last Updated: Jan/01/2000
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