Voltar à página principal                                                                       Próxima Aula

Indtrodução
O Movimento de um Objeto: Cinemática
Velocidade Média
Velocidade Instantânea
Aceleração

1.1           Introdução

            Cálculo é um ramo matemática moderna que trata das variações. Desde que movimentos envolve mudanças ou variações, não é surpresa que uma grande parte no desenvolvimento do cálculo ocorreu simultaneamente com a criação da primeira teoria completa sobre o movimento. Esta teoria do movimento é agora chamada mecânica clássica a qual teve seus fundamentos baseados nos trabalhos de Sir Isaac Newton (1642-1727). As idéias desenvolvidas por Newton para tratar quantidades ou grandezas variáveis, agora incorporada no que chamamos de cálculo, foi desenvolvida independentemente na mesma época por Wilhelm Leibnitz (1646-1716), um filósofo e matemático alemão. Mesmo sendo Newton o responsável pela introdução do cálculo em física, os livros modernos adotaram a notação usada por Leibnitz.

            Veremos a seguir que revisar o desenvolvimento dos conceitos do movimento é uma excelente introdução ao cálculo. Nesta aula nós discutiremos as idéias mais elementares do cálculo da diferenciação e da integração, primariamente aplicada aos movimentos. Nós limitaremos esta discussão do cálculo a incluir somente funções que podem ser expressas em uma forma gráfica ou como polinômios simples. O leitor que for familiar com os conceitos do cálculo elementar pode tratar esta aula como uma revisão ou mesmo omiti-la.
 

1.2      O Movimento de um Objeto: Cinemática

            A tentativa em compreender o movimento dos objetos pode ser considerada uma parte da história do ser humano. Muitos contribuíram para o seu entendimento, mas dois deles se destacaram entre todos: Galileu Galilei (1564-1642) e Isaac Newton. O estudo do movimento dos objetos, e os conceitos ai relacionados tais como força e energia, formam o campo chamado mecânica. Mecânica é costumeiramente dividida em duas partes: cinética, a qual é a descrição de como os objetos se movem, e dinâmica, a qual explica porque objetos movem. Inicialmente estudaremos a cinemática e nas próximas aulas com a dinâmica.

            O estudo do movimento pode ser, em alguns casos, bastante complexo se nós consideramos objetos girando enquanto se movem ao longo de uma trajetória curva. Freqüentemente, contudo, o aspecto essencial do movimento de um objeto pode ser entendido sem levar em conta a sua orientação. Por exemplo, o movimento da Terra em sua órbita anual em torno do sol não é afetada pela a rotação diária em torno do seu próprio eixo. A Terra poderia ser considerada como uma partícula sem extensão como um ponto matemático; ela seguiria a mesma órbita anual. Nesta e em muitas outras aplicações, a ficção de uma partícula idealizada como um ponto é muitas vezes proveitosa e portanto nós iniciaremos nossos estudos com o movimento de uma partícula puntiforme ou pontual e discutindo objetos que se movem em linha reta e sem rotações. Estes movimentos são chamados de movimentos translacionais. Em capítulos posteriores estudaremos como descrever o movimento translacional em duas ou três dimensões.

            No sentido de descrever o movimento de uma partícula, nós precisamos ser hábeis em definir a posição de uma partícula assim como as mudanças em suas posições. Qualquer medida de posição ou velocidade deve ser feita com respeito a um sistema de referência, Por exemplo, o movimento de uma pessoa no interior de um trem viajando a 80 km/h, relativo a um observador fora do trem, tem que levar em conta o movimento do trem. Outro ponto importante está na escolha do sistema de coordenadas. Em geral, o mais recomendado e conveniente para a maioria dos problemas do nosso dia a dia é o sistema de coordenadas cartesianas (Fig.1.1). Note que a coordenada x do ponto P é dada pela distância do ponto P a partir do plano y-z e de forma similar as distâncias y e z do ponto P são tomadas a partir dos planos x-z e x-y respectivamente. Obviamente, o sistema de coordenadas pode estar em movimento também. Este caso, será tratado em aulas posteriores, e por agora, consideraremos apenas um sistema simples de coordenada como sendo um sistema de referência fixo. O problema na descrição do movimento de um ponto (partícula) se resume, neste caso, na determinação das coordenadas x,y e z do ponto para cada instante do tempo. Neste sentido, haverá movimento se no mínimo uma das coordenadas varia com o tempo. Caso contrário dizemos que o a partícula ou objeto está em repouso, assim nós devemos analisar cuidadosamente a dependência das coordenadas em função do tempo.

Fig. 1.1

        Vamos iniciar nossas discussões considerando apenas uma coordenada. A dependência temporal de uma coordenada, como por exemplo x, é adequadamente descrita dizendo que x é uma função do tempo. Este enunciado é freqüentemente descrito em uma forma simbólica por;

            onde o símbolo entre parêntese é chamado argumento da função. A dependência funcional de x com o tempo (t) é expressa dizendo que x é a variável dependente, enquanto t é a independente. Nós podemos também indicar x é um função de t escrevendo x(t), com o parêntese indicando a dependência funcional. Um exemplo de deste tipo representação funcional é a função algébrica x = a + b t + c t², onde a, b e c são constantes.

            Se um objeto está em movimento, confinado apenas em uma dimensão em um dado sistema de coordenadas, então a distância deste objeto a um sistema de origem deve mudar com o passar do tempo. Para tornar claro a correlação entre o movimento de um objeto e sua posição em relação um sistema de origem vamos analisar o movimento de um jogador de voleibol dentro da quadra. Inicialmente, vamos representar o seu movimento graficamente como mostra a Fig. 1.2. Este gráfico mostra as variações da posição do jogador, isto é a cada instante do tempo temos o valor da coordenada x, a qual representa a posição ou a distância do jogador à rede divisória. Esta medida foi tomada a cada 2 segundos. Como podemos notar as observações iniciaram quando o jogador estava à 3,0 metros da rede, ficou parado por 2 segundos e em seguida moveu-se até a posição x = 7,6 m em 6 segundos. Imediatamente após voltou para a posição x = 4,0m da rede, ficando parado ai por 8 segundos. Logo após se aproximou mais ainda rede, ficando parado a uma distância de 2 metros da rede (x=2,0m).

Fig. 1.2

Neste caso, observamos que as medidas da posição do jogador foram coletadas a cada 2 segundos. Com isto queremos dizer que as observações foram feitas em um intervalo de tempo (D t) discreto, isto é não contínuo. Poderíamos aumentar a precisão de nossos resultados fazendo medidas mais freqüentes. O gráfico Fig.1-3 mostra a mesma situação observada a cada D t = 0,3 segundos. Então, no limite, podemos dizer que as medidas seriam realmente precisas se as observações fossem realizadas continuamente, isto é no limite em que D t » 0.

Fig. 1.3

            Hoje em dia os laboratórios modernos contam com aparelhos que podem medir posições de um dado objeto a cada nanosegundos ou um bilhão do segundo, sem muita dificuldade. Usando tal aparelho as medidas referentes a posição de nosso jogador poderiam ser representada graficamente por uma curva como mostra a Fig.1-4.
 

            Examinremos a seguir, o gráfico da Fig.1-4 e determinar quando o jogador está se movendo mais rapidamente. Observamos que durante os 2 segundos iniciais o jogador fica parado, isto acontece também entre os instantes t = 12s e t = 20s. A sua distância com relação a rede aumenta rapidamente entre os instantes t = 2s e t = 8s. Entre os instantes t = 8s e t = 12s, assim entre t = 20s e t = 25s a coordenada x decresce rapidamente, voltando a ficar próximo à rede. De forma não muito sistemática, tentamos descrever o movimento do jogador dentro da quadra. Podemos melhorar esta descrição é necessário buscar outros os conceitos além do deslocamento e tempo gasto durante o percurso.

            Vamos agora formalizar esta idéia de movimento introduzindo o conceito de velocidade, uma quantidade que será zero quando não existir movimento, será pequena quando houver mudanças lentas na posição, e grande quando o movimento for rápido.
 

1.3      Velocidade Média

            A velocidade, como introduzida na seção anterior, é uma grandeza que mede exatamente a distância percorrida pelo objeto em um intervalo de tempo necessário para completar o referido percurso. Ilustrando com unidades, lembramos que nas principais estradas brasileiras, motoristas não podem viajar um percurso de 80 km em um tempo inferior a uma hora, isto significa que a sua velocidade não deve ser superior a 80 km/h. Então, de acordo com a nossa definição, velocidade é a medida da variação da posição, ou distância percorrida, divida pelo tempo gasto para efetuar tal mudança. O leitor pode rapidamente notar um problema com esta definição de velocidade. O que aconteceria se o carro movesse a 160 km/h durante meia hora e em seguida ficasse parado por mais meia hora ? Neste caso também, observamos que ele percorreu 80 km em uma hora. Para resolver este problema temos, então, que estender o nosso conceito de velocidade introduzindo a velocidade média. Com isto, podemos dizer que, em ambos casos, o motorista viajou o mesmo percurso com uma velocidade média de 80 km/h. Matematicamente o conceito de velocidade média é definido por;
 

                                                                                                                     (1)

                                                                                                            (2)

        Vamos agora, voltar ao caso do jogador de voleibol e analisar o seus movimentos em termos do novo conceito velocidade média. De acordo como o gráfico da Fig.1-4, notamos que em 8 segundos o jogador foi da posição x = 3,0 m à x = 7,6 m. Então temos que;
 

                                                                      (3)

            Devido ao fato de que a velocidade média é definida em um intervalo de tempo Dt ela não contém informações detalhadas, sobre o movimento, durante o intervalo D t. Isto pode causar erros nas conclusões tiradas durante a observação, ou mesmo algumas informações importantes ficarem ocultas. Para esclarecer esta afirmação, vamos voltar ao resultado da eq.(3). Este resultado nos diz que a velocidade média do jogador para percorrer os 4,6 metros foi de 0,575 m/s, mas nela não contém a informação que, durante o percurso, o jogador esteve parado por 2 segundos, veja Fig.1-4. Para resolver este problema e consequentemente descrever o movimento mais detalhadamente, somos então forçado a melhorar ainda mais o conceito inicial de velocidade, introduzindo a velocidade instantânea.
 

1.4      Velocidade Instantânea

            A velocidade instantânea é obtida quando o intervalo de tempo entre duas medidas de posição é muito pequeno ou próximo de zero. Neste sentido, temos que recorrer à definição de tempo contínuo ou quase contínuo, isto é D t » 0. Na Fig.1-5 representamos esta idéia de velocidade instantânea escolhendo um Dt₁ muito pequeno. Observamos que neste caso, devido ao fato de que D t e D x serem pequenos, a inclinação da curva é aproximadamente um segmento de reta, isto não ocorre na inclinação calculada no caso D t₂ na mesma figura, onde no intervalo D t o segmento de curva não coincide com uma reta. O fato do segmento infinitesimal ser uma reta significa que a velocidade instantânea é igual a velocidade média.

Fig. 1.5

 No caso limite, com D t » 0, a inclinação assim definida, é uma reta tangente ao ponto de observação (x,t). Consequentemente, a velocidade instantânea dever ser definida matematicamente por;
 

    .                                                                                                      (5)

            Como vimos, este limite é igual a inclinação de uma linha reta que é tangente ao ponto de observação na curva x-versus-t. Este conceito de inclinação, em um dado ponto de uma curva, é o coração do cálculo diferencial. A definição dada na eq.(5) é usualmente abreviada pela notação;
 

   .                                                                                                   (6)

A equação (6) é lida como, "v é igual a derivada de x com relação a t". A velocidade é uma grandeza vetorial, portanto para determina-la completamente é necessário conhecer a sua magnitude e direção.
 

1.5     Aceleração

            O movimento do jogador, representado nos gráficos anteriores, é um sistema físico rico em detalhes no que se tange ao estudo do movimento de um corpo. Dele tiramos o conceito de variação da posição, variação temporal os quais quando correlacionados geram os conceitos de velocidades médias e instantânea. Analisando com um pouco mais de detalhe, notamos que as velocidades estabelecidas pelo jogador, neste problema, não são constantes durante o tempo observado. Isto significa que, assim como a posição, a velocidade do jogador varia com o tempo nos diferentes intervalos de tempo. Neste caso, para entender melhor o comportamento evolutivo do movimento do jogador é necessário também estudar a variação da velocidade em função do tempo. O conceito associado a variação da velocidade é a aceleração, a qual é uma grandeza que mede a taxa de variação da velocidade com o tempo. De forma análoga ao caso da velocidade média podemos introduzir o conceito de aceleração média por;
 

.                                                                                                       (7)

.                                                                                                       (8)

            Nós podemos combinar as equações (6) e (8) para escrever a aceleração em termos da variação temporal da posição, como a seguir;

.                                                                                                   (9)

Isto significa que a aceleração de um objeto, em qualquer instante é igual a segunda derivada da sua posição com respeito ao tempo.

            Unidades comuns para a aceleração são; m/s² , cm/s² e km/h². Existem obviamente muitos outros sistemas de unidades, mas todos eles têm a forma de distância/(tempo²). Como a velocidade e a aceleração é uma grandeza vetorial, para determina-la completamente é necessário conhecer a sua magnitude e direção.

Na forma vetorial a equação (8) pode ser escrita por;
 

,                                                                                       (10)

            Muitos tipos de movimentos acelerados ocorrem a uma aceleração constante ou aproximadamente constante. Isto significa que a aceleração não varia como o tempo. Nós trataremos agora, alguns dessas situações onde a magnitude da aceleração se mantém constante e o movimento se dá em linha reta, algumas vezes chamado de movimento uniformemente acelerado. Neste caso, as acelerações média e instantânea são iguais e consequentemente podemos escrever quer ;
 

,                                                                                                            (11)

  .                                                                                                       (12)

                                                                                             (13)

   .                                                                                              (14)

    .                                                                                           (15)

                                                                             (16)

  ,                                                                                     (17)

        Outras equações importantes podem ser derivadas das equações anteriores, como por exemplo;
 

                                                             (18)

                                                                                     (19)

Electronic Address : kcmundim@unb.br 
          Last Updated: Dec/12/2000
         Copyright 1997: Kleber C. Mundim. All rights reserved.
         Register N^o  169.766 - Biblioteca Nacional - Ministério da Cultura