Voltar à página principal Aula 12

1- Propriedades dos Operadores

    Matematicamente, a mecânica quântica é uma teoria linear. De acordo com o principio da superposição, as funções de onda representam diferentes estados de um sistema físico que pode ser descrito como combinações de vários outros estados. Neste sentido, pode se dizer que as funções de onda pertencentes a um dado sistema físico formam uma classe de funções as quais descrevem todos os estados e configurações possíveis do sistema em questão. Assim, é objeto da teoria quântica descobrir e caracterizar estas funções e formular as regras por meio das quais as propriedades das grandezas observáveis do sistema possam ser deduzidas. As regras descrevem as operações matemáticas sobre as funções de onda para produzir resultados, os quais podem ser interpretados experimentalmente. A equação (1) abaixo é uma destas regras pela qual o momento linear médio de uma partícula, no estado y, pode ser calculado.

                                                                            (1)

O conceito de operador é fundamental na formulação destas regras.

                                                                            (2)

Esta equação significa: A função de f é o resultado da aplicação do operador A_op sobre a função de onda y. Se, por exemplo, A_op= x, então f é o resultado da multiplicação de y pela variável independente x; ou se A_op= d/dx, f é a derivada de y com relação a x.
 
 

2- Álgebra dos operadores
 
 

que quando atuando sobre a função de onda y satisfaz a relação;

É extremamente importante notar que A_opB_op e B_opA_op podem não serem iguais e portanto podem não comutar, como por exemplo

mas

Então se,

Esta equação é verdadeira para qualquer função y e pode ser expressa pela seguinte operação;

Podemos definir também potência de um operador A_op, pela relação;

Das regras acima pode-se definir regras de operações que envolvem soma e multiplicação de operadores simultaneamente, isto é;

Como aplicação, veja o seguinte exemplo;

onde k é uma constante e simbolicamente esta operação é representada por,

Operador Linear
 

O operador A_op é dito ser um operador linear se ele satisfaz as seguintes regras:

                                                                    (3)

onde y₁ e y₂ são funções de onda e c é uma constante complexa qualquer.
 
 

Operadores recíprocos
 

Se dois operadores A_op e B_op estão relacionados pelas equações;

eles são ditos serem operadores recíprocos um em relação ao outro e podem também serem escritos nas forma,

Desta relação tiramos a seguinte propriedade,

 

O operador dentro do formalismo da mecânica quântica

Como vimos anteriormente os operadores podem ser usados para se calcular os valores esperados de uma dada grandeza observável, para isto eles devem satisfazer a seguinte regra;

cujo resultado desta operação de integração é igual ao valor médio observado da grandeza física correspondente.

Em particular, a própria equação de Schrödinger é uma equação de operadores com autovalor igual a E, isto é,

Operadores Hermitianos

        Um operador  representando uma grandeza observável deve necessariamente, para todos estados y, produzir um valor esperado real o qual é dado pela relação;

O resultado desta operação é necessariamente um número real. Conseqüentemente    deve satisfazer a seguinte condição;

para qualquer função de onda y onde este operador pode ser aplicado. Os operadores lineares que obedecem a esta regra são dito ser operadores Hermitiano. Esta regra é suficiente para assegurar que os autovalores de  são reais, sendo portanto y uma autofunção de  com autovalor l, isto é,

Sendo este operador Hermitiano a seguinte relação também é válida,

onde l^* é o complexo conjugado de l. Pela propriedade de hermiticidade do operador  , tem-se que o autovalor l deve ser real, isto é,

Lembre-se que

                                                                                (4)

que em termos da notação da operadores pode ser representada por;

                                                                    (5)

onde A_op= d/dx. Observe que esta operação é diferente da regra de multiplicação caso A seja um número ordinário, isto é;

                                                                (6)

Operador Comutador

Sejam as seguintes regras de operação sobre a equação de onda,

e

Subtraindo uma equação da outra temos que

Esta equação mostra que y é autofunção do operador  , com autovalor igual a zero. As equações acima mostram que y é autofunção dos dois operadores A e B simultaneamente. O operador    é denominado de comutador de A e B,

O comutador satisfaz as seguintes regras,

Em particular, os operadores que satisfazem as regras

são ditos comutarem entre si e as autofunções de operadores comutantes podem sempre ser construídas de modo que elas são autofunções de cada um dos operadores simultaneamente.
 

Operador de paridade unitária

Podemos definir também o seguinte operador linear de transformação,

Ele satisfaz também a seguinte relação de distributividade;

Este operador é denominado operador unitário pela seguinte razão,

então    ou  .   Neste sentido temos duas autofunções deste operador,

A Comutabilidade dos Operadores

            Vimos pelo principio da incerteza Heisenberg a impossibilidade de se medir, simultaneamente e com precisão arbitrária, a posição e o momento de uma partícula. Isto quer dizer que se conhecemos precisamente a posição da partícula não podemos dizer nada sobre o seu momento ou velocidade.
            O que isto tem a ver com as nossas definições de operadores? Como podemos descrever o principio da incerteza de Heisenberg em termos dos operadores  e  ?

            O principio da incerteza de Heisenberg é, na verdade mais geral do temos discutido anteriormente. Ele se aplica a qualquer par de observáveis denominadas observáveis complementares, as quais são definidas em termos de propriedades dos seus operadores. Mais especificamente, podemos dizer que se duas observáveis  e  são complementares, então elas devem satisfazer a seguinte regra:

                                                                             (23)

Isto significa que elas não comutam, isto é;

                                                       (24)

Como podemos escrever o principio da incerteza para o momento e posição em termos dos comutadores?
            Para mostrar que os operadores de posição e momento não comutam e são portanto observáveis complementares, consideremos a seguinte operação sobre a função de onda;

                                                                           (25)

e

                                         (26)

Comparando as duas equações acima tiramos que os operadores posição e momento não comutam e, portanto são observáveis complementares, isto é;
 

ou

(27)

            De acordo com a mecânica clássica, supõe-se falsamente, que podemos conhecer simultaneamente a posição e o momento de uma partícula com precisão absoluta. Contudo, a mecânica quântica mostra que a posição e momento são complementares e portanto, temos que fazer uma escolha no ato de medi-las: podemos determinar corretamente a posição da partícula com incertezas no momento ou determinar corretamente o momento e velocidade da partícula com incertezas na sua posição.
 
   

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