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Teoria dos Operadores

1. Operadores e suas propriedades

Vimos na seção anterior que a nova mecânica tinha como base à solução da equação de Schrödinger a qual é uma equação diferencial nas coordenadas espaciais e temporal. Mostramos também que as grandezas físicas observáveis são representadas, nesta nova teoria, por operadores que é um ente matemático abstrato. Para tornar este procedimento abstrato um pouco mais concreto, é necessário aplicá-los dentro das novas regras da mecânica quântica, no sentido obter as grandezas físicas realmente observáveis. Este procedimento pode ser resumido pela seguinte definição:

Definimos como observáveis (O) todas aquelas grandezas reais que podem ser medidas em laboratório as quais dentro da nova teoria quântica são representadas por operadores, tais como;

(1)

os quais representam a posição da partícula no eixo x, o seu momento linear e a sua energia dependente do tempo, respectivamente. Estes operadores terão realização física quando aplicados na função de onda y, o que nos leva a concluir que a observável posição é obtida apenas multiplicando o operador pela a função y, enquanto os outros dois, momento e energia, são obtidos por derivadas da função de onda. A seguir damos um exemplo de aplicação dos operadores na mecânica quântica.

Exemplo 1: O momento linear
Se a função de onda tem a forma , então o operador momento pode ser determinado derivando esta função em relação à coordenada x;

, (2)

de onde tiramos que;

(3)

A equação (3) é denominada comumente por equação de autovalor para o momento linear que quando comparada com a equação (2) determina-se o valor de p_x, isto é, . Caso a função de onda esteja se propagando no sentido opostos (-x), então o momento mudará de sinal .

4. Autovalores e autofunções

Vimos que para extrair informações sobre um dado sistema quântico é necessário resolver a equação de Schrödinger, cuja solução é uma função de onda (y). Neste sentido dizemos que y é uma autofunção do operador Hamiltoniano , isto é;

onde E a energia que é o autovalor do operador . Resumidamente, podemos dizer que a equação de Schrödinger é uma equação de autovalor da forma;

(operador)(função) = (fator constante) x (a mesma função) (4)

ou simbolicamente,

(5)

onde o fator constante o é o autovalor do operador. Desta forma, podemos dizer que: resolver a equação de Schrödinger é encontrar os autovalores e autofunções do operador hamiltoniano do sistema. Os autovalores de um dado operador representam as grandezas físicas observáveis permitidas.
Para esclarecer estes novos conceitos vamos mostrar que a função é uma autofunção do operador momento linear ( ) e que a função não é autofunção de . Para verificar isto basta aplicar o operador na função de onda, como a seguir. Por definição o operador momento é igual a;

Então, temos que;

(6)

que pode ser reescrita na forma,

(7)

que é uma equação de autovalor equivalente a eq. (5). Assim podemos dizer que a função de onda é autofunção do operador com autovalor . Como o número de onda k pode ser escrito em termos do comprimento de onda l, temos que;

(8)

que é equivalente ao resulto obtido por Bohr na quantização do átomo de hidrogênio.

Vamos agora, verificar que a função não é autofunção do operador , usando o mesmo procedimento das equações (6) e (7), isto é;

(10)

Analisando o último termo entre parêntese na equação (10) notamos que ele não é uma constante, como estabelece a regra (4), ele depende da posição. E se a equação (10) fosse escrita por;

Ela seria uma equação de autovalor? Não, mesmo nesta forma ela não é uma equação de autovalor por que as funções e são diferentes.
Então, na prática, em mecânica quântica, estamos sempre procurando por funções que são autofunções de um dado operador, especialmente do operador hamiltoniano usado para se calcular a energia, isto é

(operador hamiltoniano) (função de onda) = (energia) x (a mesma função de onda)

Este procedimento é aplicável a qualquer observável física. Isto significa que os autovalores de um dado operador devem ser reais, caso contrário eles não representarão observáveis que possam ser medidas em laboratório.
Em resumo podemos dizer que as autofunções de um dado operador geram sempre autovalores reais e, portanto são observáveis físicas.

5. Superposição de estados

É fácil de verificar que a função de onda é uma solução da equação de Schrödinger e autofunção do operador energia, isto é;

(11)

(12)

Vamos verificar agora se esta função de onda é também autofunção do operador momento . Para isto, basta aplicar o operador em y, isto é;

(13)

Vemos claramente que esta expressão não é uma equação de autovalor para o operador p, por que a função de onda do lado direito é diferente da função do lado esquerdo. Com isto, concluímos que nem todas as funções que são soluções da equação de Schrödinger e autofunção da energia são autofunção do momento linear.
Vamos agora analisar o seguinte caso: Por definição de funções trigonométricas complexas temos que:

Somando estas duas equações tiramos que o cosseno pode ser escrito como uma combinação de funções exponenciais complexas, isto é;

(14)

Com este resultado podemos reescrever a função de onda do caso anterior da seguinte forma,

(15)

Vejamos agora se esta função é autofunção do operador momento.

(16)

(17)

onde e são os valores do momento da partícula nas direções +x em –x, respectivamente.
Este é um resultado bastante interessante que nos leva a seguinte conclusão:

Quando a função de onda de uma partícula não é uma autofunção de um dado operador, a propriedade que corresponde ao operador não tem valor definido.

Contudo, no exemplo em questão, o momento não está completamente indefinido por que a função cosseno pode ser escrita como uma combinação linear de funções que são autovalores do operador , isto é, uma soma de funções e as quais são individualmente autofunção de com estados bem definidos. Isto leva-nos a pensar que a função de onda, no seu caso mais geral, pode ser expressa por uma combinação de linear de autofunções dos operadores, isto é

(18)

onde c_n são coeficientes numéricos e y_n corresponde aos diferentes estados do momento ou valores que ele pode assumir. Neste caso, a probabilidade de medir a observável em um particular estado ou autovalor é dado pelo quadrado do módulo dos coeficientes, .

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Last Updated: Jul/17/2002
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